一种近似积分方法：Monte Carlo Integral

• 有时候定积分很难精确计算（解析式求不出），使用数值方法
• 黎曼积分：分解成很多个长方形来积分
• Monte Carlo积分：随机采样
• 用任意一个PDF去采样，都可以用下面的式子求出积分的近似数值

$$ F_{N}=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \frac{f\left(X_{i}\right)}{p\left(X_{i}\right)} $$

• Uniform: p(x) = 1/(b-a)

$$ \int f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \frac{f\left(X_{i}\right)}{p\left(X_{i}\right)} \quad X_{i} \sim p(x) $$

• N: 采样数
• 样本越多，结果越准
• 在x上采样的样本就要在x上积分

路径追踪 Path Tracing

Motivation: Whitted-Style Ray Tracing

• Always perform specular reflections / refractions

• Stop bouncing at diffuse surfaces

• 这些简化不一定正确

  • Where should the ray be reflected for glossy materials? 反射到镜面对应的方向附近一圈，而非单单镜面反射
  • No reflections between diffuse materials? 漫反射不应停下，否则少了很多
    • Color bleeding: 由于漫反射，颜色流到了其他面上

• Whitted-Style Ray Tracing is Wrong

• the rendering equation is correct (部分简化光线的性质)

  $$ L_{o}\left(p, \omega_{o}\right)=L_{e}\left(p, \omega_{o}\right)+\int_{\Omega^{+}} L_{i}\left(p, \omega_{i}\right) f_{r}\left(p, \omega_{i}, \omega_{o}\right)\left(n \cdot \omega_{i}\right) \mathrm{d} \omega_{i} $$

  • 但是它包括了对半球面的积分，还有递归
  • 但是我们只需要solve this integral numerically → Monte Carlo